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【口袋数学】数学八年级上册:全等三角形判定4“角角边”模型

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全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)

要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

clip_image002

 

典型例题

2、已知:如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.

求证:AD=AC.

clip_image002[4]

【思路点拨】要证AC=AD,就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.

【答案与解析】

证明:∵AB⊥AE,AD⊥AC,

∴∠CAD=∠BAE=90°

∴∠CAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB ,即∠BAC=∠EAD

在△BAC和△EAD中

clip_image004

∴△BAC≌△EAD(AAS)

∴AC=AD

【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.

 

3、已知:如图,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.

(1)求证:AC与BD互相平分;

(2)若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,

求证:OE=OF.

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【思路点拨】(1)证△ABO≌△CDO,得AO=OC,BO=DO(2)证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO

【答案与解析】

证明:∵AB∥DC

∴∠A=∠C

   在△ABO与△CDO中

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∴△ABO≌△CDO(AAS)

∴AO=CO ,BO=DO

在△AEO和△CFO中

clip_image015

∴△AEO≌△CFO(ASA)

∴OE=OF.

【总结升华】证明线段相等,就是证明它们所在的两个三角形全等.利用平行线找角等是本题的关键.

 

举一反三:

【变式】如图,AD是△ABC的中线,过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.

求证:BE=CF.

clip_image006

【答案】

证明:∵AD为△ABC的中线

∴BD=CD
∵BE⊥AD,CF⊥AD,

∴∠BED=∠CFD=90°,

在△BED和△CFD中

clip_image008

∴△BED≌△CFD(AAS)

∴BE=CF

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