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问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°则:AC=AB.

——来源于“河南省周口市第一初级中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷”

真题答案

【真题】
(2020周口.八上期中) 问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°则:AC= AB.

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(1) 如图1,连接AB边上中线CF,试说明△ACF为等边三角形;
(2) 如图2,在(1)的条件下,点D是边CB延长线上一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE,EF.试说明EF⊥AB.
【答案】
【答案】
【答案】
【解析】
【解析】

考点分析

        据专家权威分析,试题“问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°则:AC=AB.”主要考察了你对 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质; 等知识点的理解和应用。

举一反三

        ~~第1题~~
(2020长兴.九上期末) 如图,四边形ABCE内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,延长AE交BC的延长线于点F,点C是BF的中点,∠BCD=∠CAE


(1) 求证:CD是⊙O的切线;
(2) 求证:△CEF是等腰三角形;
(3) 求证:△CEF是等腰三角形;
(4) 若BD=1,CD=2,求 cos∠CBA的值及EF的长。
(5) 若BD=1,CD=2,求 cos∠CBA的值及EF的长。
~~第2题~~
(2020息.九上期末) 如图①,在 中, .

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(1) 的数量关系是: ; .
(2) 把图①中的 绕点 旋转一定的角度,得到如图②所示的图形.

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①求证: .

②若延长 于点 ,则 的数量关系是什么?并说明理由.

(3) 若 ,把图①中的 绕点 顺时针旋转 ,直接写出 长度的取值范围.
~~第3题~~
(1) 一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是等腰Rt△ABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察,分析,思考,形成了如下思路:

思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连结P′P,求出∠APB的度数;

思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP′B,连结P′P,求出∠APB的度数。

请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程。

(2) 一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是等腰Rt△ABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察,分析,思考,形成了如下思路:

思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连结P′P,求出∠APB的度数;

思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP′B,连结P′P,求出∠APB的度数。

请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程。

(3) 【类比探究】如图,若点M是等腰Rt△ABC外一点,MA=3,MB=1,MC= ,请直接写出∠AMB的度数。
(4) 【类比探究】如图,若点M是等腰Rt△ABC外一点,MA=3,MB=1,MC= ,请直接写出∠AMB的度数。
~~第4题~~
(2020长兴.八上期末) 如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,且BC=CD。


(1) 求证:△BCE≌△DCF
(2) 求证:△BCE≌△DCF
(3) 若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长。
(4) 若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长。
~~第5题~~
(2020柳州.八上期末) 如图, 是边长为6的等边三角形, 边上一动点,由 运动(与 不重合), 延长线上一动点,与点 同时以相同的速度由 延长线方向运动( 不与 重合),过 ,连接 .

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(1) 当 时,求 的长;
(2) 在运动过程中线段 的长是否发生变化?如果不变,求出线段 的长;如果发生改变,请说明理由.

巩固练习

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