问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°则：AC=AB.

(2020周口.八上期中) 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°则：AC= AB.

（1） 如图1，连接AB边上中线CF，试说明△ACF为等边三角形；

（2） 如图2，在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE，EF.试说明EF⊥AB.

(2020长兴.九上期末) 如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE

（1） 求证：CD是⊙O的切线；

（2） 求证：△CEF是等腰三角形；

（3） 求证：△CEF是等腰三角形；

（4） 若BD=1，CD=2，求 cos∠CBA的值及EF的长。

（5） 若BD=1，CD=2，求 cos∠CBA的值及EF的长。

(2020息.九上期末) 如图①，在 与 中， ， .

（1） 与 的数量关系是： ; .

（2） 把图①中的 绕点 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.

①求证： .

②若延长 交 于点 ，则 与 的数量关系是什么？并说明理由.

（3） 若 ， ，把图①中的 绕点 顺时针旋转 ，直接写出 长度的取值范围.

(2020长兴.八上期末) 如图

（1） 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等腰Rt△ABC内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察，分析，思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连结P′P，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结P′P，求出∠APB的度数。

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程。

（2） 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等腰Rt△ABC内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察，分析，思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连结P′P，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结P′P，求出∠APB的度数。

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程。

（3） 【类比探究】如图，若点M是等腰Rt△ABC外一点，MA=3，MB=1，MC= ，请直接写出∠AMB的度数。

（4） 【类比探究】如图，若点M是等腰Rt△ABC外一点，MA=3，MB=1，MC= ，请直接写出∠AMB的度数。

(2020长兴.八上期末) 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=CD。

（1） 求证：△BCE≌△DCF

（2） 求证：△BCE≌△DCF

（3） 若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长。

（4） 若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长。

(2020柳州.八上期末) 如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重合）， 是 延长线上一动点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动（ 不与 重合），过 作 于 ，连接 交 于 .

（1） 当 时，求 的长；

（2） 在运动过程中线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果发生改变，请说明理由.