李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：

——来源于“浙江省杭州市下沙区2018-2019学年八年级上学期数学期末考试试卷”

真题答案

【真题】

(2019杭州.八上期末) 李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．

请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：

（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；

（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．

【答案】

【解析】

考点分析

据专家权威分析，试题“李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：”主要考察了你对三角形的面积;勾股定理;矩形的性质;翻折变换（折叠问题）; 等知识点的理解和应用。

举一反三

~~第1题~~

(2020长兴.九上期末) 如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：△CEF是等腰三角形；

（3）求证：△CEF是等腰三角形；

（4）若BD=1，CD=2，求 cos∠CBA的值及EF的长。

（5）若BD=1，CD=2，求 cos∠CBA的值及EF的长。

~~第2题~~

(2020长兴.九上期末) 如果一条抛物线y=ax²+bxc(a≠0)与坐标轴有三个交点那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”

（1）命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是（填“真”或“假”）命题；

（2）若抛物线解析式为y=x²-4x+3，求其“抛物线三角形”的面积。

~~第3题~~

(2020鞍山.九上期末) 如图，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax²+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．

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（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的解析式；

（3）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；

（4）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；

（5）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．

（6）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．

~~第4题~~

(2020鞍山.九上期末) 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．

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（1）求证：GD＝EG．

（2）求证：GD＝EG．

（3）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．

（4）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．

（5）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

（6）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

~~第5题~~

(2020鞍山.九上期末) 如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

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（1）求证：AC为⊙O切线．

（2）求证：AC为⊙O切线．

（3）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．

（4）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．

巩固练习

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