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初中数学:二次函数的最值

1.
(2020郑州.中考模拟) 当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.
(1) 直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 (本)与销售单价 (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2) 书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠 元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元,求 的值.

知识点:根据数量关系列出方程; 二次函数的最值;

2020中考综合题答案

2.
(2020平阳.中考模拟) 如图,直线y=2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,且顶点Q在直线AB上.

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(1) 求a,b的值.
(2) 点P是第四象限内抛物线上的点,连结OP、AP、BP,设点P的横坐标为t,△OAP的面积为s1,△OBP的面积为s2,记s=s1+s2,试求s的最值.

知识点:一次函数的性质; 二次函数的最值; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式;

2020中考综合题答案

4.
(2020重庆.中考模拟) 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)

求抛物线的解析式;

(2)

若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;

(3)

在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.


知识点:待定系数法求一次函数解析式; 二次函数的三种形式; 二次函数的最值; 两点间的距离; 等腰三角形的性质;

2020中考综合题答案

6.
(2020宁波.中考模拟) 若两个二次函数图象的顶点相同,开口大小相同,但开口方向相反,则称这两个二次函数为“对称二次函数”.
(1) 请写出二次函数y=2(x-2)2+1的“对称二次函数”;


(2) 已知关于x的二次函数y1=x2-3x+1和y2=ax2+bx+c,若y1-y2与y1互为“对称二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当-3≤x≤3时,y2的最大值.



知识点:二次函数y=a(x-h)^2+k的性质; 二次函数的最值;

2020中考综合题答案

8.
(2020城.中考模拟) 已知函数y=﹣x2+bx+c(其中b,c是常数)
(1) 四位同学在研究此函数时,甲发现当x=0时,y=5;乙发现函数的最大值为9;丙发现函数图象的对称轴是直线x=2;丁发现4是方程﹣x2+bx+c=0的一个根.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,请直接写出错误的那个人是谁,并求出此函数表达式;
(2) 在(1)的条件下,函数y=﹣x2+bx+c的图象顶点为A,与x轴正半轴交点为B,与y轴的交点为C,若将该图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3) 若c=b2,当﹣2≤x≤0时,函数y=﹣x2+bx+c的最大值为5,求b的值.

知识点:二次函数图象的几何变换; 二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数的最值;

2020中考综合题答案

10.
(2020.九上期末) 如图,抛物线y=ax2 x+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),已知B点坐标为(4,0).

(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点M是线段BC下方的抛物线上一点,记点M到线段BC的距离为d,当d取最大值时,求出此时M点的坐标;
(3) 若点P是抛物线上一点,点E是直线y=﹣x上的动点,是否存在点P、E,使以点A,点B,点P,点E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E坐标;若不存在,请说明理由.

知识点:二次函数的最值; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

11.
(2020高平.九上期末) 九年级孟老师数学小组经过市场调查,得到某种运动服的月销量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、月销售量、月销售利润w(元)的三组对应值如下表:

售价x(元/件)

130

150

180

月销售量y(件)

210

150

60

月销售利润w(元)

10500

10500

6000

注:月销售利润=月销售量×(售价﹣进价)

(1) ①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);

②运动服的进价是元/件;当售价是元/件时,月销利润最大,最大利润是元.

(2) 由于某种原因,该商品进价降低了m元/件(m>0),商家规定该运动服售价不得低于150元/件,该商店在今后的售价中,月销售量与售价仍满足(1)中的函数关系式,若月销售量最大利润是12000元,求m的值.

知识点:根据数量关系列出方程; 二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数的最值;

2020初中九年级上学期综合题答案

12.
(2020宽城.九上期末) 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-4ax- (a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,这条抛物线的顶点为D。
(1) 求点D的坐标。
(2) 过点C作CE∥x轴交抛物线于点E,当CE=2AB时,求点D的坐标。
(3) 这条抛物线与直线y=-x相交,其中一个交点的横坐标为-1,过点P(m,0)作x轴的垂线,交这条抛物线于点M,交直线y=-x于点M,且点M在点N的下方。当线段MN的长度随m的增大而增大时,求m的取值范围。
(4) 点Q在这条抛物线上运动,若在这条抛物线上只存在两个点Q,满足S△ABQ=3S△ABC,直接写出a的取值范围。

知识点:二次函数的最值; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

13.
(2020莘.九上期末) 某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100在销售过程中,每天还要支付其他费用450元。
(1) 求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2) 求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式。
(3) 当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?

知识点:一次函数的图象; 一次函数的性质; 二次函数的最值; 二次函数的实际应用-销售问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

14.
(2020平度.九上期末) 交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体,并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征,其中流量q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数;速度v(千米小时)指通过道路指定断面的车辆速度,密度k(辆千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数

为配合大数据治堵行动,测得某路段流量q与速度ν之间关系的部分数据如下表:

速度v(千米小时)

……

5

10

20

32

40

48

……

流量q(辆小时)

……

550

1000

1600

1792

1600

1152

……

(1) 根据上表信息,下列三个函数关系式中,刻画q,v关系最准确是。(只填上正确答案的序号)

①q=90v+100; ②q=32000;③q=-2v2+120v

(2) 请利用(1)中选取的函数关系式分析,当该路段的车流速度为多少时,流量达到最大?最大流量是多少?
(3) 已知q,v,k满足q=k,请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题:市交通运行监控平台显示,当12≤ν<18时道路出现轻度拥堵.试分析当车流密度k在什么范围时,该路段将出现轻度拥增?

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数的最值;

2020初中九年级上学期综合题答案

20.
(2020黄石.九上期中) 如图,抛物线 与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).

(1)

求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)

判断△ABC的形状,证明你的结论;

(3)

点M是抛物线对称轴上的一个动点,当CM+AM的值最小时,求M的坐标;

(4)

在线段BC下方的抛物线上有一动点P,求△PBC面积的最大值.


知识点:二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案