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初中数学:待定系数法求二次函数解析式

1.
(2020余杭.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣ x+2分别交x轴、y轴于点A、B.点C的坐标是(﹣1,0),抛物线y=ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点,过点P作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点Q,连结DQ,设点P的横坐标为m(m≠0).

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(1) 求点A的坐标.
(2) 求抛物线的表达式.
(3) 当以B、D、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求m的值.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020中考综合题答案

2.
(2020平阳.中考模拟) 如图,直线y=2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,且顶点Q在直线AB上.

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(1) 求a,b的值.
(2) 点P是第四象限内抛物线上的点,连结OP、AP、BP,设点P的横坐标为t,△OAP的面积为s1,△OBP的面积为s2,记s=s1+s2,试求s的最值.

知识点:一次函数的性质; 二次函数的最值; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式;

2020中考综合题答案

3.
(2020杭州.中考模拟) 如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A( ,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).

(1) 求这条抛物线的表达式;
(2) 在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3) 如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

知识点:一次函数的性质; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题; 相似三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案

4.
(2020金华.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.

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(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3) 在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

知识点:二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的性质;

2020中考综合题答案

5.
(2020武汉.中考模拟) 已知抛物线y=x2+(2m﹣1)x﹣2m(m>0.5)的最低点的纵坐标为﹣4.

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(1) 求抛物线的解析式;
(2) 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上的一点,BD平分四边形ABCD的面积,求点D的坐标;
(3) 如图2,平移抛物线y=x2+(2m﹣1)x﹣2m,使其顶点为坐标原点,直线y=﹣2上有一动点P,过点P作两条直线,分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行),求证:直线EF恒过某一定点.

知识点:二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用;

2020中考综合题答案

6.
(2020新乡.中考模拟) 如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时,在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.


知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

7.
(2020百色.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点的坐标为(﹣3,0),B点在原点的左侧,与y轴交于点C(0,3),点P是直线BC上方的抛物线上一动点

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(1) 求这个二次函数的表达式;
(2) 连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C(如图1所示),那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请此时点P的坐标:若不存在,请说明理由;
(3) 当点P运动到什么位置时,四边形ABCP的面积最大,并求出其最大值.

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

8.
(2020岱岳.中考模拟) 如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.

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(1) 求该抛物线的表达式;
(2) 点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.
(3) 已知点P是直线y= x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

9.
(2020双柏.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

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(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若动点P在第四象限内的抛物线上,过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D,交x轴于点E,垂足为E,求线段PD的长,当线段PD最长时,求出点P的坐标;
(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020中考综合题答案

10.
(2020陕西.中考模拟) 在平面直角坐标系中,已知抛物线L: 经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为 .

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(1) 求抛物线L的表达式;
(2) 点P在抛物线 上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.

知识点:二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020中考综合题答案

11.
(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( )和B(4,6),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.

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(1) 求抛物线的解析式;
(2) 当C为抛物线顶点的时候,求 的面积.
(3) 是否存在质疑的点P,使 的面积有最大值,若存在,求出这个最大值,若不存在,请说明理由.

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式;

2020中考综合题答案

13.
(2020云南.中考模拟) 如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.

(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
(3) P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020中考综合题答案

14.
(2020松滋.中考模拟) 如图(1)已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中,∠CAO=60°,OA=2,B点的坐标为(2,0),动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动(M点不与点A、点B重合),设运动时间为t秒.

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(1) 求经过B、C、D三点的抛物线解析式;
(2) 点P在(1)中的抛物线上,当M为AC中点时,若△PAM≌△PDM,求点P的坐标;
(3) 当点M在CB上运动时,如图(2)过点M作ME⊥AD,MF⊥x轴,垂足分别为E、F,设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(4) 如图(3)点P在(1)中的抛物线上,Q是CA延长线上的一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,求点P的坐标.

知识点:二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 全等三角形的性质;

2020中考综合题答案

15.
(2020云南.中考模拟) 如图,抛物线y=ax2+bx+3经过点 B(﹣1,0),C(2,3),抛物线与y轴的交点A,与x轴的另一个交点为D,点M为线段AD上的一动点,设点M的横坐标为t.

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(1) 求抛物线的表达式;
(2) 过点M作y轴的平行线,交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时,1的长最大,并求最大值;(先根据题目画图,再计算)
(3) 在(2)的条件下,当t为何值时,△PAD的面积最大?并求最大值;
(4) 在(2)的条件下,是否存在点P,使△PAD为直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,说明理由.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用;

2020中考综合题答案

16.
(2020青浦.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线 x轴交于AB两点,与y轴交于点C , 对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0).

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(1) 求该抛物线的表达式及顶点坐标;
(2) 点P为抛物线上一点(不与点A重合),联结PC.当∠PCB=ACB时,求点P的坐标;
(3) 在(2)的条件下,将抛物线沿平行于 轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点D,点P关于x轴的对应点为点Q,当ODDQ时,求抛物线平移的距离.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题; 锐角三角函数的定义;

2020中考综合题答案

17.
(2020封开.中考模拟) 如图,直线 轴, 轴分别交于点 ,经过点 的抛物线 轴的另一个交点为点 ,点 是抛物线上一点,过点 轴于点 ,连接 ,设点 的横坐标为 .

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(1) 求抛物线的解析式;
(2) 当点 在第三象限,设 的面积为 ,求 的函数关系式,并求出 的最大值及此时点 的坐标;
(3) 连接 ,若 ,请直接写出此时点 的坐标.

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案

18.
(2020长宁.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y x2+mx+n经过点B(6,1),C(5,0),且与y轴交于点A

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(1) 求抛物线的表达式及点A的坐标;
(2) 点Py轴右侧抛物线上的一点,过点PPQOA,交线段OA的延长线于点Q,如果∠PAB=45°.求证:△PQA∽△ACB
(3) 若点F是线段AB(不包含端点)上的一点,且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上,求FF′的长.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 相似三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案

19.
(2020上海.中考模拟) 已知:在平面直角坐标系xOy中,对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0,2),与x轴交于A(-3,0)、B两点(点A在点B的左侧).

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(1) 求这条抛物线的表达式.
(2) 连接BC,求∠BCO的余切值.
(3) 如果过点C的直线,交x轴于点E,交抛物线于点P,且∠CEO =∠BCO,求点P的坐标.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 锐角三角函数的定义;

2020中考综合题答案

20.
(2020虹口.中考模拟) 在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C (0,3),点P在该抛物线的对称轴上,且纵坐标为2
(1) 求抛物线的表达式以及点P的坐标;
(2) 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称α为此三角形的“特征角”.

①当D在射线AP上,如果∠DAB为△ABD的特征角,求点D的坐标;

②点E为第一象限内抛物线上一点,点Fx轴上,CEEF,如果∠CEF为△ECF的特征角,求点E的坐标.


知识点:二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题; 全等三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案