初中数学：二次函数的实际应用-几何问题

(2020东莞.九上期中) 已知二次函数y=-2x²+bx+c的图象经过点A(0，4)和B(1，-2)。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积。

(2020余杭.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+2分别交x轴、y轴于点A、B.点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax²+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）.

图片_x0020_1503848731

（1）求点A的坐标.

（2）求抛物线的表达式.

（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值.

知识点：待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

(2020长春.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= $\text{[math]}$ -1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C.若AB=AC，∠BAC=90°，则m=________.

知识点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数的实际应用-几何问题;

2020中考填空题答案

(2020潮南.九上期末) 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm²时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

知识点：一元一次不等式的应用; 一元二次方程的实际应用-几何问题; 二次函数的实际应用-几何问题;

(2020岱岳.中考模拟) 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A .

B .

C .

D .

知识点：二次函数y=ax^2 bx c的图象; 二次函数的实际应用-几何问题; 相似三角形的判定与性质;

2020中考单选题答案

(2020洛宁.九上期末) (2019·徐州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_931792433

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $\text{[math]}$ 为抛物线在 $\text{[math]}$ 轴负半轴上方的一个动点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 $\text{[math]}$ 点的坐标，若不存在请说明理由.

知识点：二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

(2020双柏.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上.

图片_x0020_103584240

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；

（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

知识点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

(2020陕西.中考模拟) 在平面直角坐标系中，已知抛物线L： $\text{[math]}$ 经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100027

（1）求抛物线L的表达式；

（2）点P在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.

知识点：二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

10.

(2020云南.中考模拟) 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3） P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

知识点：待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

11.

(2020郑州.中考模拟) 如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y= $\text{[math]}$ x²交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

知识点：二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

12.

(2020青浦.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．

图片_x0020_100015 图片_x0020_100016

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 $\text{[math]}$ 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．

知识点：待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题; 锐角三角函数的定义;

13.

(2020温州.中考模拟) 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ ，过点P作PM⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM ，设AP＝x ，平行四边形PQNM的面积为y ．

图片_x0020_100021

（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；

（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．

知识点：二次函数的实际应用-几何问题; 平行四边形的性质; 锐角三角函数的定义;

14.

(2020虹口.中考模拟) 在平面直角坐标系中，将抛物线C₁：y＝x²﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C₂ ．

图片_x0020_100013

（1）求新抛物线C₂的表达式；

（2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C₂上，求点B与其对应点B′的距离．

知识点：二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数的实际应用-几何问题;

15.

(2020虹口.中考模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；

（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．

①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；

②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．

知识点：二次函数图象上点的坐标特征; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题; 全等三角形的判定与性质;

16.

(2020南通.中考模拟) 如图①已知抛物线y=ax²﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E.

图片_x0020_742089044

（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为，点A的坐标为；

（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′.在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

知识点：二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

17.

(2020上海.中考模拟) 二次函数y=-x²+bx+c的图像与x轴交于点B(-3，0)，与y轴交于点C(0，-3)。

（1）求二次函数解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD的两个角的和的度数。

18.

(2020安徽.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 $\text{[math]}$ （a、b都是常数，且a<0）的图像与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，顶点为点C.

（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）过点B的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；

（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.

知识点：待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

19.

(2020长兴.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2），且与x轴相切于点B.

（1）当x=0时，求☉P的半径；

（2）请直接写出y与x之间的函数关系式，并求出y的最小值；

（3）在☉P运动过程中，是否存在某一位置，使得☉P与x轴、y轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.

(2020长兴.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，连结CM，CB，直线BM交y轴交于点D.

（1）求直线BM的解析式；

（2）若点Q以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度由点B向点D直线运动，连结CQ，以CQ为边向下作△CQP，使得△QCP≌△MCB，设运动时间为t.

①当t为何值时，QC恰好平分∠DQP？并说明理由；

②当点Q从点B运动到点D时，请直接写出点P经过的路径长.