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初中数学:二次函数的实际应用-动态几何问题

1.
(2020杭州.中考模拟) 如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A( ,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).

(1) 求这条抛物线的表达式;
(2) 在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3) 如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

知识点:一次函数的性质; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题; 相似三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案

3.
(2020新乡.中考模拟) 如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时,在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.


知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

4.
(2020海门.中考模拟) 如图所示,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一直线上,△ABC从C点与D点重合开始,沿直线DE向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是(   )

A . B . C . D .

知识点:二次函数图象与系数的关系; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考单选题答案

5.
(2020百色.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点的坐标为(﹣3,0),B点在原点的左侧,与y轴交于点C(0,3),点P是直线BC上方的抛物线上一动点

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(1) 求这个二次函数的表达式;
(2) 连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C(如图1所示),那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请此时点P的坐标:若不存在,请说明理由;
(3) 当点P运动到什么位置时,四边形ABCP的面积最大,并求出其最大值.

知识点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

6.
(2020湖州.中考模拟) 如图, 已知抛物线 的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点 .

(1) 求抛物线的解析式和A、B两点的坐标;
(2) 若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),则是否存在一点P,使△PBC的面积最大.若存在,请求出△PBC的最大面积;若不存在,试说明理由;
(3) 若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求M点的坐标.

知识点:待定系数法求一次函数解析式; 二次函数y=ax^2+bx+c的性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

7.
(2020临颍.九上期末) 如图,抛物线C1:y=x2﹣2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.

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(1) 求抛物线C2的解析式;
(2) 在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;
(3) M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.

知识点:二次函数图象与系数的关系; 二次函数的实际应用-动态几何问题; 轴对称的应用-最短距离问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

8.
(2020岱岳.中考模拟) 如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.

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(1) 求该抛物线的表达式;
(2) 点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.
(3) 已知点P是直线y= x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

10.
(2020石家庄.中考期末) 如图,抛物线yax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点AB , 与y轴交于点C , 且OC=2OB , 点D为线段OB上一动点(不与点B重合),过点D作矩形DEFH , 点HF在抛物线上,点Ex轴上.

(1) 求抛物线的解析式;
(2) 当矩形DEFH的周长最大时,求矩形DEFH的面积;
(3) 在(2)的条件下,矩形DEFH不动,将抛物线沿着x轴向左平移m个单位,抛物线与矩形DEFH的边交于点MN,连接MN.若MN恰好平分矩形DEFH的面积,求m的值.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

11.
(2020绍兴.中考模拟) 如图1,已知抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D,点C’是点C关于对称轴的对称点,过点D作DG⊥x轴交x轴于点G,交线段AC于点E。

(1) 连接DC,求△DCE的周长;
(2) 如图2,点P是线段AC上方抛物线上的一点,过P作PH⊥x 轴交x轴于点H,交线段AC于点Q,当四边形PCQC’的面积最大时,在线段PH上有一动点M,在线段DG上有一动点N,在y轴上有一动点E,且满足MN⊥PH,连接AM,MN,NE,DE,求AM+MN+NE+DE的最小值;

(3) 如图3,将抛物线沿直线AC进行平移,平移过程中的点D记为D’,点C记为C’,连接D’C’所形成的直线与x轴相交于点G,请问是否存在这样的点G,使得△D’OG为等腰三角形?若存在,求出此时OG的长度,若不存在,请说明理由。


知识点:二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

12.
(2020义乌.中考模拟) 如图,已知抛物线y=﹣ +bx+c的图象经过点A(﹣1,0)和点C(0,2),点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

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(1) 求该抛物线所表示的二次函数的表达式.


(2) 已知点F(0, ),当点P在x轴正半轴上运动时,试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?


(3) 点P在线段AB运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.



知识点:二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

13.
(2020义乌.中考模拟) 如图1,已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A,且经过点B(3,﹣3).

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(1) 求顶点A的坐标


(2) 若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点,求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标;


(3) 如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,请问:在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.



知识点:二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

14.
(2020湖州.中考模拟) 已知:如图,一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y= x2+bx+c的图象与一次函数y= x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)

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(1) 求二次函数的解析式;
(2) 求四边形BDEC的面积S;
(3) 在x轴上有一动点P,从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动,是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P运动的时间t的值,若不存在,请说明理由.
(4) 若动点P在x轴上,动点Q在射线AC上,同时从A点出发,点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,求a的值,若不存在,说明理由.

知识点:二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

15.
(2020蔡甸.中考模拟) 在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点M为顶点,连接OM,若y与x的部分对应值如表所示:

x

﹣1

0

3

y

0

0

(1) 求抛物线的解析式;
(2) 抛物线与y轴交于点C,点Q是直线BC下方抛物线上一点,点Q的横坐标为xQ.若S△BCQ S△BOC,求xQ的取值范围;
(3) 如图2,平移此抛物线使其顶点为坐标原点,P(0,﹣1)为y轴上一点,E为抛物线上y轴左侧的一个动点,从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F.则当E点位置变化时,直线EF是否经过某个定点?如果是,请求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.

知识点:二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020中考综合题答案

16.
(2020.九上期末) 如图,抛物线y=ax2 x+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),已知B点坐标为(4,0).

(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点M是线段BC下方的抛物线上一点,记点M到线段BC的距离为d,当d取最大值时,求出此时M点的坐标;
(3) 若点P是抛物线上一点,点E是直线y=﹣x上的动点,是否存在点P、E,使以点A,点B,点P,点E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E坐标;若不存在,请说明理由.

知识点:二次函数的最值; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

17.
(2020建湖.九上期末) 如图,抛物线 两点.

图片_x0020_107724164   图片_x0020_100021   图片_x0020_100022

备用图1                 备用图2

(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 点 是抛物线上一点,且位于第一象限,当 的面积为6时,求点 的坐标;
(3) 在线段 右侧的抛物线上是否存在一点 ,使得 的面积为 两部分?存在,求出点 的坐标;不存在,请说明理由.

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

19.
(2020嘉陵.九上期末) 如图,直线y=-x+m与抛物线y=ax2+bx都经过点A(6,0),点B,过B作BH垂直x轴于H,OA=3OH.直线OC与抛物线AB段交于点C

(1) 求抛物线的解析式。
(2) 当点C的纵坐标是 时,求直线OC与直线AB的交点D的坐标。
(3) 在(2)的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN,顶点P始终在线段AB上,求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值。

知识点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案

20.
(2020宁波.九上期中) 在平面直角坐标系中,点Ay轴上一点,其坐标为(0,6),点Bx轴的正半轴上.点PQ均在线段AB上,点P的横坐标为m , 点Q的横坐标大于m , 在△PQM中,若PMx轴,QMy轴,则称△PQM为点PQ的“肩三角形.
(1) 若点B坐标为(4,0),且m=2,则点PB的“肩三角形”的面积为
(2) 当点PQ的“肩三角形”是等腰三角形时,求点B的坐标;
(3) 在(2)的条件下,作过OPB三点的抛物线yax2+bx+c

①若M点必为抛物线上一点,求点PQ的“肩三角形”面积Sm之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.

②当点PQ的“肩三角形”面积为3,且抛物线yax2+bx+c与点PQ的“肩三角形”恰有两个交点时,直接写出m的取值范围.


知识点:二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-动态几何问题;

2020初中九年级上学期综合题答案