初中数学：等边三角形的判定

(2020宜昌.中考模拟) 在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD ， 连接BD ．

（1） 如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC；

（2） 如图2，若AB＝2BC，

①求 的值；

(2020城.中考模拟) 下列定理中，逆命题是假命题的是（　　）

(2020.八上期末) (2019八上·柯桥期中) 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F.

（1） 证明：△ADF是等腰三角形；

（2） 若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

(2020乌海.八上期末) 如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，

(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；

(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；

(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。

(2020海拉尔.八上期末) 问题探究：

（1） 如图①所示是一个半径为 ，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形 则蚂蚁爬行的最短路程即为线段 的长）

（2） 如图②所示是一个底面半径为 ，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．

（3） 如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

(2020苏州.八上期末) 在如图所示的正方形网格中，已知小正方形的边长为1，△ABC与△DEF的顶点均为格点，边AC、DF交于点G．下面有四个结论：①△ABC≌△DEF；②图中阴影部分(即△ABC与△DEF重叠部分)的面积为1.5；③△DCG为等边三角形；④AG=DG．其中结论正确的个数为（    ）

(2020龙湾.八上期中) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且BD＝CE，DC＝BF，连结DE，EF，DF，∠1＝60°

（1） 求证：△BDF≌△CED．

（2） 判断△ABC的形状，并说明理由．

（3） 若BC＝10，当BD＝时，DF⊥BC．（只需写出答案，不需写出过程）

(2020吴兴.八上期中) 下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为 ， ， 的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2， 4，则等腰三角形的周长为10或8；④在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。正确的个数有（  ）

(2020鄞州.八上期中) 如图，在 中， ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，且 ， ．

（1） 求证： 是等腰三角形；

（2） 当 时，求 的度数；

（3） 若 ，判断 是否为等边三角形．

(2020新昌.八上期中) 下列命题是假命题的是(   )

(2020定州.八上期中) 如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P.

(Ⅰ)依题意补全图形.

(Ⅱ)若∠ACN＝α，求∠BDC的大小(用含α的式子表示).

(Ⅲ)若PA＝x，PC＝y，求PB的长度(用x，y的代数式表示).

(2020交城.九上期中) 综合与探究

如图，抛物线 的图象经过坐标原点O，且与 轴的另一交点为( ，0).

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若直线 与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；

（3） 在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2020江阴.八上期中) 以下命题中正确的是（   ）

(2020平潭.八上期中) 如图，在 中， .

（1） 请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，并标出D点（不写作法，保留作图痕迹）.

（2） 在（1）的条件下，连接AD，求证： 是等边三角形.

(2020恩施土家族苗族自治州.八上期中) (2018八上·珠海期中) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2 ，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．

（1） 求证：△ABE为等边三角形；

（2） 将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；

（3） 在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．

(2020恩施土家族苗族自治州.八上期中) 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P₁和点P关于OA对称，点P₂和点P关于OB对称，则P₁、O、P₂三点构成的三角形是（     ）

(2020恩施.八上期中) △ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（   ）

(2020保山.八上期中) 如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.

（1） 求证：∠AFB=∠DEC；

（2） 若∠EOF=60°，试判断△OEF的形状，并说明理由.

(2020鼓楼.九上期末) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．

（1） 尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．

（2） 求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

(2020南宁.八上期末) 在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上，且OA=OD。

（1） 如图1，若点O为BC中点，求∠COD的度数；

（2） 如图2，若点O为BC上的任意一点，求证：AD=AB+BO；

（3） 如图3，若点O为BC上的任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由。