初中数学：等边三角形的判定与性质 - 第3页

(2020滨州.八上期末) 如图，在等边△ABC中，BD=CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连结EM交AC于点N，连结DM、CM．以下说法：①AD=AM  ②∠MCA=60° ③CM=2CN，④MA=DM其中正确的有（   ）

(2020南召.八上期末) 如图，在等边 中，点D、E分别在边BC、AB上，且 ，过点E作 ，交CB的延长线于点 若 ，则 ________．

(2020南召.八上期末) 数学课上，王老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1） 特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论；

（2） 特例启发，解答题目

王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)

（3） 拓展结论，设计新题

在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长．

(2020中山.八上期末) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE。

求证：

（1） 点D是EF的中点；

（2） △CEF是等腰三角形。

(2020中山.八上期末) 已知△ABC中，∠B=60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点。

（1） 如图(1)，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；

（2） 如图(2)，当点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小；

（3） 如图(3)，当点F落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长。

(2020武汉.八上期中) 己知： 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点， ．

（1） 如图1，当E在AC的延长线上且 时，AD是 的中线吗？请说明理由；

（2） 如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由;

（3） 如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．

(2020自贡.八上期末) 是△ 的中线， ， ;把△ 沿直线 折叠，使点 落在点 的位置，连接 ,则 的长为 ________ .     

(2020德江.八上期末) 如图，已知 为等腰直角三角形， ，点 为 内一点， ， 为 延长线上一点，

（1） 求证：

（2） 求

（3） 点 在 上， ，求证：

(2020张掖.八上期末) 如图所示，在△ABC中，已知∠DBC＝60°，AC＞BC，又△ABC＇、△BCA＇、△CAB＇都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC

（1） 证明: △C′BD≌△CB′D

（2） 证明:△AC＇D≌△DB＇A

(2020台州.八上期中) 如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA ．

（1） 求证：∠BAD＝∠EDC；

（2） 作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．

(2020椒江.八上期中) 已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ,OC．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；结论正确的有________（把你认为正确的序号都填上）

(2020台州.九上期中)            

（1） 知识储备

①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC= PA．

②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

（2） 知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：

如图2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段▲的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点P(要求尺规作图).

（3） 知识应用

①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（   ）；

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（   ）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 ，求正方形 ABCD 的

边长．

(2020余杭.九上期中) 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD ， 且DA＝DB ．

（1） 如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD＋CB．

（2） 如图2，∠ADB＝90°．

①求证：AC＝ CD＋CB．

②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝ CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．

(2020萧山.九上期中) 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA ， 得到一个五角星图形和五边形MNFGH ． 有下列3个结论：① AO⊥BE， ② ∠CGD=∠COD+∠CAD， ③ BM=MN=NE．其中正确的结论是（   ）

 

(2020龙湾.九上期中) 如图，边长为2的正方形 的顶点 、 在一个半径为2的圆上，顶点 、 在该圆内．将正方形 绕点 逆时针旋转，当点 第一次落在圆上时，点 旋转到 ，则 ________ ．

(2020衢州.九上期中) 如图，四边形ABCD内接于 .

（1） 连接AC、BD，若∠BAC=∠CAD=60°，则 的形状为.

（2） 在（1）的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3） 若 = ，∠DAB=∠ABC=90°,点P为 上的一动点，连接PA，PB，PD，

求证：PD=PB+ PA。

(2020衢州.八上期中) 如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线.作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E.取BE的中点M，连结AM.

（1） 求证：△AEM是等边三角形；

（2） 若AE=2，求△AEM的面积.

(2020西城.九上期中) 已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.

 

（1） 如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长.

（2） 如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.

(2020景.八上期中) 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD

（1） 求证：DB=DE

（2） 过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF。

(2020定州.八上期中) 如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN.

（1） 求证：BD＝AE.

（2） 求证：△NMC是等边三角形.