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初中数学:等边三角形的判定与性质

2.
(2020郑州.中考模拟) 在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.(不必解答)

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(1) 小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC的形状是三角形;∠ADB的度数为

(2) 在原问题中,当∠DBC<∠ABC(如图1)时,请计算∠ADB的度数;
(3) 在原问题中,过点A作直线AE⊥BD,交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=2.请直接写出线段BE的长为

知识点:等腰直角三角形; 全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 含30度角的直角三角形;

2020中考综合题答案

4.
(2020宝应.中考模拟) 数学课上,李老师出示范了如下框中的题目.

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小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:

(1) 特殊情况,探索结论

当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论:AEDB(填“>”、“<”或“=”);

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(2) 特例启发,解答题目

解:题目中,AE与DB的大小关系是:AEDB(填“>”、“<”或“=”).理由如下:

如图2过点E作EF∥BC,交AC于点F;(请你完成以下解答过程)

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(3) 拓展结论,设计新题

在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).


知识点:等边三角形的判定与性质;

2020中考综合题答案

8.
(1) 如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质;

2020初中八年级上学期综合题答案

9.
(2020南召.八上期末) 数学课上,王老师出示了如下框中的题目.

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小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:

(1) 特殊情况•探索结论:在等边三角形ABC中,当点E为AB的中点时,点D在CB点延长线上,且ED=EC;如图1,确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论
(2) 特例启发,解答题目

王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是:.理由如下:

如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)

(3) 拓展结论,设计新题

在△ABC中,AB=BC=AC=1;点E在AB的延长线上,AE=2;点D在CB的延长线上,ED=EC,如图3,请直接写CD的长


知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质;

2020初中八年级上学期综合题答案

11.
(2020中山.八上期末) 已知△ABC中,∠B=60°,点D是AB边上的动点,过点D作DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿DE折叠,点A对应点为F点。
(1) 如图(1),当点F恰好落在BC边上,求证:△BDF是等边三角形;

(2) 如图(2),当点F落在△ABC内,且DF的延长线恰好经过点C,CF=EF,求∠A的大小;

(3) 如图(3),当点F落在△ABC外,DF交BC于点G,连接BF,若BF⊥AB,AB=9,求BG的长。


知识点:三角形内角和定理; 等边三角形的判定与性质; 翻折变换(折叠问题);

2020初中八年级上学期综合题答案

12.
(2020武汉.八上期中) 己知: 为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点,

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(1) 如图1,当E在AC的延长线上且 时,AD是 的中线吗?请说明理由;
(2) 如图2,当E在AC的延长线上时, 等于AE吗?请说明理由;
(3) 如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出AB、BD、AE的数量关系.

知识点:全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 等边三角形的判定与性质;

2020初中八年级上学期综合题答案

16.
(2020台州.九上期中)            
(1) 知识储备

①如图 1,已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC上任意一点.求证:PB+PC= PA.

②定义:在△ABC 所在平面上存在一点 P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点 P 为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离.

(2) 知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A,∠B,∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法:

如图2,在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆,根据(1)的结论,易知线段的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中,用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点P(要求尺规作图).

(3) 知识应用

①判断题(正确的打√,错误的打×):

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个(   );

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部(   ).

②已知正方形 ABCD,P 是正方形内部一点,且 PA+PB+PC 的最小值为 ,求正方形 ABCD 的

边长.


知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 正方形的性质; 圆周角定理; 旋转的性质;

2020初中九年级上学期综合题答案

18.
(2020衢州.九上期中) 如图,四边形ABCD内接于 .

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(1) 连接AC、BD,若∠BAC=∠CAD=60°,则 的形状为.
(2) 在(1)的条件下,试探究线段AD,AB,AC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3) 若 = ,∠DAB=∠ABC=90°,点P为 上的一动点,连接PA,PB,PD,

求证:PD=PB+ PA。


知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 圆周角定理;

2020初中九年级上学期综合题答案