初中数学：等边三角形的判定与性质

(2020九龙坡.八上期中) 如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.

求证:

（1） △BCD≌△BAE;

（2） △EBD是等边三角形.

(2020郑州.中考模拟) 在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

（1） 小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．

（2） 在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

（3） 在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．

(2020长春.中考模拟) 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D。

（1） 求证：CD=CB。

（2） 如果⊙O的半径为2，求AC的长。

(2020宝应.中考模拟) 数学课上，李老师出示范了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1） 特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2） 特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）.理由如下：

如图2过点E作EF∥BC，交AC于点F；（请你完成以下解答过程）

（3） 拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.

(2020贵港.中考模拟) 已知： 是 的高，且 .

（1） 如图1，求证： ；

（2） 如图2，点E在AD上，连接 ，将 沿 折叠得到 ， 与 相交于点 ，若BE=BC，求 的大小；

（3） 如图3，在（2）的条件下，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，若 ， ，求线段 的长.

(2020金山.八上期末) 已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F

（1） 求证:AD=FD

（2） 若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式

（3） 若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．

(2020临沂.九上期末) 如图，已知 是 外一点， 交 于点 ， ，弦 ，劣弧 所对的圆周角度数为 ，连接 ．

（1） 求 的长；

（2） 求证： 是 的切线．

(2020德城.八上期末)    

（1） 如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2） 如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3） 拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

(2020南召.八上期末) 数学课上，王老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1） 特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论；

（2） 特例启发，解答题目

王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)

（3） 拓展结论，设计新题

在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长．

(2020中山.八上期末) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE。

求证：

（1） 点D是EF的中点；

（2） △CEF是等腰三角形。

(2020中山.八上期末) 已知△ABC中，∠B=60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点。

（1） 如图(1)，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；

（2） 如图(2)，当点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小；

（3） 如图(3)，当点F落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长。

(2020武汉.八上期中) 己知： 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点， ．

（1） 如图1，当E在AC的延长线上且 时，AD是 的中线吗？请说明理由；

（2） 如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由;

（3） 如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．

(2020德江.八上期末) 如图，已知 为等腰直角三角形， ，点 为 内一点， ， 为 延长线上一点，

（1） 求证：

（2） 求

（3） 点 在 上， ，求证：

(2020张掖.八上期末) 如图所示，在△ABC中，已知∠DBC＝60°，AC＞BC，又△ABC＇、△BCA＇、△CAB＇都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC

（1） 证明: △C′BD≌△CB′D

（2） 证明:△AC＇D≌△DB＇A

(2020台州.八上期中) 如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA ．

（1） 求证：∠BAD＝∠EDC；

（2） 作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．

(2020台州.九上期中)            

（1） 知识储备

①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC= PA．

②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

（2） 知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：

如图2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段▲的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点P(要求尺规作图).

（3） 知识应用

①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（   ）；

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（   ）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 ，求正方形 ABCD 的

边长．

(2020余杭.九上期中) 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD ， 且DA＝DB ．

（1） 如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD＋CB．

（2） 如图2，∠ADB＝90°．

①求证：AC＝ CD＋CB．

②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝ CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．

(2020衢州.九上期中) 如图，四边形ABCD内接于 .

（1） 连接AC、BD，若∠BAC=∠CAD=60°，则 的形状为.

（2） 在（1）的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3） 若 = ，∠DAB=∠ABC=90°,点P为 上的一动点，连接PA，PB，PD，

求证：PD=PB+ PA。

(2020衢州.八上期中) 如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线.作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E.取BE的中点M，连结AM.

（1） 求证：△AEM是等边三角形；

（2） 若AE=2，求△AEM的面积.

(2020西城.九上期中) 已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.

 

（1） 如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长.

（2） 如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.