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初中数学:等边三角形的判定与性质

7.
(2020台州.九上期中)            
(1) 知识储备

①如图 1,已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC上任意一点.求证:PB+PC= PA.

②定义:在△ABC 所在平面上存在一点 P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点 P 为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离.

(2) 知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A,∠B,∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法:

如图2,在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆,根据(1)的结论,易知线段的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中,用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点P(要求尺规作图).

(3) 知识应用

①判断题(正确的打√,错误的打×):

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个(   );

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部(   ).

②已知正方形 ABCD,P 是正方形内部一点,且 PA+PB+PC 的最小值为 ,求正方形 ABCD 的

边长.


知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 正方形的性质; 圆周角定理; 旋转的性质;

2020初中九年级上学期综合题答案

11.
(2020衢州.九上期中) 如图,四边形ABCD内接于 .

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(1) 连接AC、BD,若∠BAC=∠CAD=60°,则 的形状为.
(2) 在(1)的条件下,试探究线段AD,AB,AC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3) 若 = ,∠DAB=∠ABC=90°,点P为 上的一动点,连接PA,PB,PD,

求证:PD=PB+ PA。


知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 圆周角定理;

2020初中九年级上学期综合题答案

15.
(2020定州.九上期中) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2,一个锐角等于 60°的菱形纸片,将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合,按顺时针方向旋转这个三角形纸片,使它的两边分别交 CB,BA(或它们的延长线)于点 E, F;

①当CE=AF 时,如图①,写出DE与DF的数量关系

②继续旋转三角形纸片,当 CE≠AF 时,如图②,①的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;

③再次旋转三角形纸片,当点 E,F分别在 CB,BA 的延长线上时,如图③, 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系.

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知识点:全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 菱形的性质;

2020初中九年级上学期综合题答案

19.
(2020宜兴.九上期中) 如图,在平面直角坐标系中,以点M(0,  )为圆心,以 长为半径作⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,连接AM并延长交⊙M于P点,连接PC交x轴于E.

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(1) 求出CP所在直线的解析式;
(2) 连接AC,请求△ACP的面积.

知识点:待定系数法求一次函数解析式; 等边三角形的判定与性质; 含30度角的直角三角形; 垂径定理; 圆周角定理;

2020初中九年级上学期综合题答案