初中数学：相似三角形的判定与性质

(2020宁波.九上期末) 如图，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E， ，则 的值是（   ）

(2020余杭.九上期末) 如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA₁ ， 边OA₁与AB交于点O₁ ， 以O₁B为边作等边△O₁BA₂ ， 边O₁A₂与A₁B交于点O₂ ， 以O₂B为边作等边△O₂BA₃ ， 边O₂A₃与A₂B交于点O₃ ， …，依此规律继续作等边△O_n﹣1BA_n ， 记△OO₁A的面积为S₁ ， △O₁O₂A₁的面积为S₂ ， △O₂O₃A₂的面积为S₃ ， …，△O_n﹣1O_nA_n﹣1的面积为S_n ， 则S_n＝________.（n≥2，且n为整数）

(2020贵港.中考模拟) 如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且 ＝ ，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F.

（1） 求证：MF是⊙O的切线；

（2） 若CN＝3，BN＝4，求CM的长.

(2020宁波.九上期末) 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ ﹣1；④ ＝2﹣ ，其中正确的结论是（   ）

(2020广西壮族自治区.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AD＝ AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝ MP；④BP＝ AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（  ）

(2020义乌.中考模拟) 如图，在□ABCD中，点M为CD中点，AM 与BD相交于点 N，那么S_{△DM N}∶S_□ABCD为 （   ）

(2020无锡.九上期中) 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（   ）

(2020温州.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.

（1） 求证：AC平分∠DAB；

（2） 求证：△PCF是等腰三角形；

（3） 若tan∠ABC= ，求线段PC的长.

(2020温岭.中考模拟) 问题发现．

（1） 如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．

（2） 如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．

（3） 如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

(2020江阴.九下期中) 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为________.

(2020惠山.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，若CE=2，连接CF．以下结论：①∠BAF=∠BCF；②点E到AB的距离是2 ；③S_△CDF：S_△BEF=9：4；④tan∠DCF= ．其中正确的有（   ）

(2020宁波.中考模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC． 若∠ABC的平分线BF交AD于点F， DE=4，DF=3，则AF的长为________．

(2020宁波.中考模拟) 如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则 ＝（   ）

(2020余杭.九上期末) 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于________。

(2020云梦.中考模拟) 如图， 中， ，顶点 ， 分别在反比例函数 与 的图象上，则 的值为________．

(2020新泰.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF²=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（   ）

(2020杭州.中考模拟) 如图1，经过原点O的抛物线y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（ ，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．

（1） 求这条抛物线的表达式；

（2） 在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3） 如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2020岱岳.中考模拟) 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．

（1） 证明：∠BDC=∠PDC；

（2） 若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

(2020岱岳.中考模拟) 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

(2020长葛.中考模拟) 如图，已知点D是 的边AC上的一点，连接 ， ， .

（1） 求证： ∽ ；

（2） 求线段CD的长.