初中数学：定义新运算

(2020杭州.中考模拟) 规定： ，如： ，若 ，则 ＝__.

(2020遵化.中考模拟) 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m²n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.

例如：﹣3☆2=（﹣3）²×2+2=20.

根据以上知识解决问题：

（1） x☆4=20,求x；

（2） 若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²﹣bx+a=0的根的情况.

(2020百色.中考模拟) 对于任意实数m、n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（　　）

(2020平阳.中考模拟)    

（1） 计算：(3﹣π)⁰﹣ +|3﹣ |+(tan30°)^﹣1

（2） 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a(a﹣b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.比如：2⊕5=2×(2﹣5)+1

=2×(﹣3)+1

=﹣6+1

=﹣5

若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来.

(2020鄞州.七上期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab²-2ab+b若(1-3x)☆(-4)=32，则x的值为(    )

(2020鄞州.八上期中) 对于任意实数 定义关于 的一种运算如下: 例如：

（1） 若 求 的取值范围；

（2） 已知关于 的方程 的解满足 求 的取值范围.

(2020西城.九上期中) 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S_P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S_P为线段AP的长度．

图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1） 若点B（1，0），C（1，1），D(0， )，则S_B=；S_C=；S_D=；

（2） 若直线y=x+b上存在点M，使得S_M=2，求b的取值范围；

（3） 已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且S_T≥S_R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

(2020景.七上期末) 定义a※b=a²-b，则(1※2)※3= ________ 。

(2020海拉尔.八上期末) 定义新运算： ，例如： ， ，则 的图象是（    ）

(2020通榆.七上期末) 定义一种新运算：a@b=b-ab，如：1@2=2²-1×2=2，

（1） 求-3@ ；

（2） 若x@3=-3，求x值。

(2020大安.七上期末) 若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24．

（1） 求3*(-4)的值；

（2） 求(-2)*(6*3)的值．

(2020扬州.七上期末) 用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ．如： .

（1） 求 的值；

（2） 若 =32，求 的值；

（3） 若 ， （其中 为有理数），试比较m、n的大小．

(2020常德.八上期末) 定义一种法则“⊕”如下：a ⊕ b = ，例如：1⊕2=2，若 (-3 p + 5) ⊕11=11，则 p的取值范围是________。

(2020城.七上期末) 定义一种新运算 ，则 的值为（   ）

(2020自贡.八上期末) 对于一个关于 的代数式 ,若存在一个系数为正数关于 的单项式 ,使 的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式 为代数式 的“整系单项式”，例如：

当 时，由于 ，故 是 的整系单项式；

当 时，由于 ，故 是 的整系单项式；

当 时，由于 ，故 是 的整系单项式；

当 时，由于 ，故 是 的整系单项式；

显然，当代数式 存在整系单项式 时， 有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式 记为 ,例如： .

阅读以上材料并解决下列问题：

（1） 判断：当 时， 的整系单项式（填“是”或“不是”）；

（2） 当 时， =;

（3） 解方程： .

(2020甘州.八上期末) 对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算如下：a※b= ，如3※2= = ，那么7※5=________．

(2020越城.七上期中) 我们定义一种新的运算“ ”，并且规定： ．例如： ， ．

（1） ；

（2） 若 ，求 的值；

（3） 若 ，求 的值．

(2020余杭.七上期中) 对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝ ，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝________.

(2020萧山.七上期中) 阅读下列运算程序，探究其运算规律：m△n=a ， 且m△(n+x)=a－x ， (m+x)△n= a+3x ， 若1△1=-2，则1△2=________，2△1=________，20△19=________．

(2020温岭.七上期中) 规定符号⊗的意义为：a⊗b＝ab﹣a﹣b+1，那么﹣2⊗5＝________．